银行还贷款怎么算？用数学计算告诉你该如何选择银行贷款的还款方式

银行贷款的还款方式有等额本金法和等额本息法，它们各有什么利弊？哪一种还款方式利息多？每个月的还款额怎么计算？这篇文章通过数学计算告诉你！

经过多年的改*开放，人们的消费观念有了很大的变化。越来越多的人需要买房、买车，有的人还需要投资，钱不够怎么办？向银行贷款就成为很普遍的事情。

贷款就要还款，不但要还本金，还要付利息。

一般来讲，利息是按照利率来计算的，比如：向银行贷款30万元，也就是欠了银行30万元。如果月利为0.2%，每月就要付利息300000×0.2% =600（元）。

假定贷款30万元的期限是10年，一共是120个月。一种还款方式是等额本金法：将30万元的本金平均分到120个月去归还，每月归还300000÷120=2500（元）。除了每月归还本金2500元，还需付利息。

第1月，由于还没开始归还本金，应当按照欠银行30万元来计算利息，应付利息600元。于是，第1月连本带利应当付给银行2500+600=3100（元）。

第2月，由于已经还了2500的本金，还欠银行本金300000-2500=297500（元），按此计算利息应为297500×0.2% =595（元）。以后，每月归还本金2500元，欠银行本金每月减少2500元，应付利息每月减少2500×0.2% =5（元）。

第k月欠本金a_k=300000-2500k（元），第k+1月应付利息为a_k×0.2%=(300000-2500k)×0.2%=600-5k （元），连本带利付2500+（600-5k）=3100-5k(元)。

等额本金还款法计算起来比较容易，但也有问题：由于所欠本金逐月减少，应付利息也逐月减少，每月连本带利付给银行的金额也逐月减少。每月还钱总额不相等，执行起来不够方便。更重要的是：开始还得多，后来就还得少。贷款者在一开始的还款压力相当大。更何况，贷款者之所以贷款，就是因为缺钱，而且往往在开始的时候更缺钱，这更加重了还款压力。因此就有另外一些还款方式。其中一种是等额本息法：每月付给银行的本金和利息的总额始终保持相等。

以下来计算每月连本带利应当付给银行多少钱，假定这个数额为c。我们来看c应当满足什么样的条件，根据条件列出方程，再解出c来。

由于应还本金的总数30万固定不变，关键是要算出每个月应付的利息。而每月应付的利息是前一个月末欠银行本金总额的0.2%。设第k月欠银行的本金额为a_k，则a₀就是还款之前欠款总数，应为a₀=300000。第k+1月应付利息为0.002a_k，归还的本金就是c-0.002a_k，于是第k+1月欠款总额a_k+1=a_k-(c-0.002a_k)=1.002a_k-c。

以下根据数列a_k满足的递推关系a_k+1=1.002a_k-c求出a_k的通项公式，并选择适当的c满足条件a₁₂₀=0。

如果c=0，则满足条件a_k+1=1.002a_k的数列｛a_k｝是以1.002为公比的等比数列。现在的情况是c>0，我们将数列｛a_k｝的各项同减去一个待定常数λ，使得数列｛a_k-λ｝=｛a₀-λ，a₁-λ，a₂-λ，……｝成为等比数列，找出它的通项公式a_k-λ=f(k)，从而得到｛a_k｝的通项公式a_k=f(k)+λ。

令b_k=a_k-λ，则a_k=b_k+λ，代入递推关系a_k+1=1.002a_k-c得到：b_k+1+λ=1.002（b_k+λ）-c，即b_k+1=1.002b_k+（0.002λ-c）。只要取 λ 使得0.002λ-c=0，则｛b_k｝是等比数列。为此，只需λ=500c。

于是｛b_k｝是以1.002为公比的等比数列，且b₀=a₀-λ=300000-500c，我们有：

b_k=b₀·1.002^k=(300000-500c)·1.002^k，

a_k=(300000-500c)·1.002^k+500c

=300000·1.002^k-500c(1.002^k-1)，

由a₁₂₀=0，可得

一般地，设向银行贷款总额为N，贷款时间为n个月，月利率为p，则可以同样的计算出等额本息每月应还款（包括本金与利息）金额为：

第k+1个月支付利息为d_k+1=(pN-c)(1+p)^k+c，归还本金为c-d_k+1。

对于以上所举的具体数例N=300000元，n=120，p=0.002，按等额本息还款方案付给银行的总金额为2814.48×120=337737.60元，除去归还本金300000元，支付利息总额为37737.60元。而按等额本金还款方案，第k+1月支付利息为（600-5k）元，120个月支付的利息总额为：600+595+…+5=36300（元）

两者相比较，等额本息还款方案支付的利息更高一些。这是什么道理呢？

在两种还款方式下，由于逐月归还本金，所欠银行本金逐月下除，因而支付的利息逐月下降。

按照等额本金还款方式，每月归还本金数额相等。

按照等额本息还款方式，由于每月还款总额不变，随着支付利息金额逐月下降，归还本金的数额逐月增加。

两种方案都在同样的时间120月内将本金还完，但是等额本金方式每月归还同样多的本金，而等额本息方式开始还得少，以后越还越多。这就意味着，等额本息方式归还本金总是比等额本金方式还得更慢，从第2个月开始一直到还款结束之前的任何一个月，按等额本息方式所欠银行的款都比等额本金的方式更多，因此每个月支付的利息更多。积累起来，当然等额本息方式支付的利息总额更多。

下表列出了每月初按两种还款方案已归还的本金总额。

由上表可以看出，等客本息方案靠前归还本金2214.48元，比等额本金方式的2500元少。以后等额本息方案归还的本金虽然逐月增多，但每月已还本金的总额始终比等额本金方式少，一直到最后一个月（第120月末）赶上。这就意味着，在还款过程中的靠前个月，等额本息方式的欠款都比等额本金方式欠得更多，应付的利息也更多。

等额本息方式付的利息更多，是否说明这种方式不好？不是。世界上没有白吃的午餐，有一利就有一弊。既然向银行借钱，就是因为你缺钱。不论采用什么还款方式，支付的利息总是在一开始较多，以后逐月减少。为了使贷款都支付的本息总额不至于开始多以后少，就只能让他归还的本金由少到多，这就必然导致利息总额增加。带来的好处就是一开始的时候还款压力不至于太大。

每天好玩的数学

微信号：DailyMathFun

↑

以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传*的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。

↓

点阅读原文逛好玩商城，发现更多好玩的数学。